Kružnica:

Neka je S čvrsta točka ravnine i neka je r nenegativan realni broj. Kružnica je skup svih točaka te ravnine kojima je udaljenost od točke S stalna i jednaka r.

Opća jedndžba kružnice kojoj je središte točka $S(p, q)$ i kojoj je r duljina polumjera.

$$(x - p)^{} + (y - q)^{} = r^{}$$

 

Elipsa:

Neka su $F_{}$ i $F_{}$ dvije čvrste točke ravnine i neka je a realan broj takav da je $a > \displaystyle\frac{}{} |F_{}F_{}|$.

Elipsa je skup svih točaka ravnine za koje je zbroj udaljenosti od točaka $F_{}$ i $F_{}$ stalan i jednak $2a$:

$$|F_{}T| + |F_{}T| = 2a$$

Žarišta: Točke $F_{}$ i $F_{}$ nazivaju se fokusi ili žarišta elipse.

Središte: Polovište O dužine $\overline{}F_{}}$ naziva se središte ili centar elipse.

Osi elipse:

Pravac koji sadrži fokuse $F_{}$ i $F_{}$ elipse os je simetrije te elipse i zove se glavna os elipse. Duljina je dužine $\overline{}$ velika os elipse. Pravac središtem O elipse okomit na njezinu glavnu os također je os simetrije elipse i naziva se sporedna os elipse. Duljina je dužine $\overline{}$ mala os elipse.

Tjemena: Točke A, B, C i D, u kojima glavna i sporedna os elipse sijeku elipsu su tjemena elipse.

Linearni ekscentricitet: Uzmimo da je $|F_{}F_{}| = 2e$. Broj e naziva se linearni ekscentricitet elipse i koordinate fokusa su $F_{}(- e, 0)$ i $F_{}(e, 0)$.

Velika poluos elipse: $|AB| = 2a$. Broj a naziva se velika poluos elipse.

Jednadžba elipse:

$$b^{}x^{} + a^{}y^{} = a^{}b^{}$$

Segmentni oblik:

$$\frac{}}{}} + \frac{}}{}} = 1$$

Mala poluos elipse: Ako u osnu jednadžbu elipse uvrstimo x = 0, dobivamo da je $y^{} = b^{}$, pa je onda $|CD| = 2b$. Kažemo da je b mala poluos elipse. Prema tome je $C(0, -b)$ i $D(0, b)$.

Numerički ekscentricitet elipse: $\displaystyle\frac{}{} = \epsilon$. Budući da je $e < a$ i da su a i e pozitivni realni brojevi, vrijedi $0 < \epsilon < 1$.

 

Hiperbola:

Neka su $F_{}$ i $F_{}$ dvije čvrste točke ravnine i neka je a pozitivan realan broj takav da je $a < \displaystyle\frac{}{} |F_{}F_{}|$.

Hiperbola je skup svih točaka ravnine za koje je apsolutna vrijednost razlike udaljenosti od točaka $F_{}$ i $F_{}$ stalna i jednaka $2a$:

$$|F_{}T| - |F_{}T| = 2a$$

Točke $F_{}$ i $F_{}$ nazivaju se fokusi ili žarišta hiperbole. Polovište O dužine $\overline{}F_{}}$ naziva se središte ili centar hiperbole.

Tjemena: Točke A i B u kojima hiperbola siječe dužinu $\overline{}F_{}}$ nazivamo tjemenama elipse.

Osi hiperbole:

Pravac koji sadrži fokuse $F_{}$ i $F_{}$ hiperbole os je simetrije te hiperbole i zove se glavna os hiperbole. Duljina je dužine $|\overline{}| = 2a$ pa se broj $2a$ zove velika os hiperbole, a broj a naziva se velika poluos hiperbole. Simetrala dužine $\overline{}$ također je os simetrije hiperbole i zove se sporedna os hiperbole.

Linearni ekscentricitet: Udaljenost se fokusa $F_{}$ i $F_{}$ označava s $2e$. Broj e, $e = \displaystyle\frac{}{} |F_{}F_{}|$, naziva se linearni ekscentricitet hiperbole.

Jednadžba hiperbole:

$$b^{}x^{} - a^{}y^{} = a^{}b^{}$$

Segmentni oblik:

$$\frac{}}{}} - \frac{}}{}} = 1$$

Mala poluos hiperbole: Prema jednakosti $b^{} = e^{} - a^{}$ uzima se po analogiji s elipsom da je b mala poluos hiperbole i da je 2b mala os hiperbole.

Numerički ekscentricitet hiperbole: $\displaystyle\frac{}{} = \epsilon$. Budući da je $e > a$ i da su a i e pozitivni realni brojevi, vrijedi $\epsilon > 1$.

Asimptote hiperbole:

Su pravci $y =\displaystyle \frac{}{} x$ i $y = -\displaystyle \frac{}{} x$

 

Parabola:

Neka su točka F čvrsta točka i pravac d čvrsti pravac ravnine i neka točka F ne pripada pravcu d. Parabola je skup svih točaka ravnine za koje je udaljenost od pravca d jednaka udaljenosti od točke F.

Točka F naziva se fokus ili žarište parabole. Pravac je d direktrisa ili ravnalica parabole. Pravac kojemu pripada fokus F parabole i koji je okomit na ravnalicu naziva se os parabole.

Tjeme parabole naziva se sjecište parabole i njezine osi. Udaljenost p fokusa F od ravnalice d parabole naziva se poluparametar.

Jednadžba parabole kojoj je fokus točka $F\left(\displaystyle\frac{}{}, 0\right)$ i kojoj je ravnalica d pravac $x = - \displaystyle\frac{}{}$:

$$y^{} = 2px$$

 

Pravac i krivulje drugog reda:

Pravac t i elipsa, pravac t i hiperbola i pravac t i parabola imaju samo po jednu zajedničku točku. Kažemo da je pravac t tangenta elipse, hiperbole, odnosno parabole, a točka D njihovo je diralište.

Pravac s i elipsa, pravac s i hiperbola i pravac s i parabola imaju po dvije različite zajedničke točke. Kažemo da je pravac s sekanta elipse, hiperbole, odnosno parabole, a točka $S_{}$ i $S_{}$ njihova su sjecišta.

Jednadžba tangente elipse:

$b^{}x_{} + a^{}y_{} = a^{}b^{}$ u točki $D(x_{}, y_{})$ te elipse.

Jednadžba tangente hiperbole:

$b^{}x_{}x - a^{}y_{}y = a^{}b^{}$ u točki $D(x_{}, y_{})$ te hiperbole.

Jednadžba tangente parabole:

$y_{}y = p(x + x_{})$ u točki $D(x_{}, y_{})$ te parabole.

Uvjet da pravac bude tangenta krivulje drugog reda:

Uvjet koji moraju zadovoljavati brojevi k, l, a i b da pravac $y = kx + l$ bude tangenta elipse $b^{}x^{} + a^{}y^{} = a^{}b^{}$:

$$a^{}k^{} + b^{} = l^{}$$

Uvjet koji moraju zadovoljavati brojevi k, l, a i b da pravac $y = kx + l$ bude tangenta hiperbole $b^{}x^{} - a^{}y^{} = a^{}b^{}$:

$$a^{}k^{} - b^{} = l^{}$$

Uvjet koji moraju zadovoljavati brojevi k, l, a i b da pravac $y = kx + l$ bude tangenta parabole $y^{} = 2px$:

$$p = 2kl$$

Polara i pol za kružnicu:

Za zadanu kružnicu $(x - p)^{} + (y - q)^{} = r^{}$ i točku $P(x_{}, y_{})$ koja nije središte $S(p, q)$ te kružnice pravac p,

$$p \dots (x_{} - p)(x - p) + (y_{} - q)(y - q) = r^{}$$

naziva se polara točke $P(x_{}, y_{})$ u odnosu na kružnicu $(x - p)^{} + (y - q)^{} = r^{}$, a točka $P(x_{}, y_{})$ naziva se pol pravca p u odnosu na zadanu kružnicu.

Polara i pol za hiperbolu:

Za zadanu hiperbolu $b^{}x^{} - a^{}y^{} = a^{}b^{}$ i točku $P(x_{}, y_{})$ koja nije središte te hiperbole pravac je p,

$$p \cdots b^{}x_{}x - a^{}y_{}y = a^{}b^{}$$

polara točke $P(x_{}, y_{})$ u odnosu na hiperbolu $b^{}x^{} - a^{}y^{} = a^{}b^{}$, a točka $P(x_{}, y_{})$ naziva se pol pravca p u odnosu na zadanu hiperbolu.